2012年8月30日，43岁的日本数学家、京都大学教授望月新一在数学系主页上贴了4篇论文，通过总共长达512页的艰深推理，他宣称自己解决了数学史上最富传奇色彩的未解猜想：ABC猜想，引发学界讨论。然而很少有数学家能够理解；8年后，从未停止奋斗的望月新一终于得到了肯定，据《自然》报道，他最终定稿长达600页的abc猜想证明终于被认可并即将出版。
日本数学家望月新一
公开资料显示，望月新一 （Shinichi Mochizuki）1969 年 3 月 29 日出生于日本东京， 16 岁进入美国普林斯顿大学就读本科， 三年后进入研究生院， 师从著名德国数学家、 1986 年菲尔兹奖得主法尔廷斯 （Gerd Faltings）， 1992 年 23 岁时获得数学博士学位。此后， 他先是 “海归”成京都大学数理科学研究所的研究助理， 几个月后又前往美国哈佛大学从事了近两年的研究， 然后重返京都大学。2002 年， 33 岁的望月新一成为了京都大学教授。望月新一的学术声誉颇佳， 曾获得过日本学术奖章 （Japan Academy Medal）等荣誉。
abc猜想是数论中最大的开放性问题之一，它表现出了整数加法和乘法间深刻的联系。很多著名的猜想和定理都紧接着它问世，使得该猜想备受关注。
abc猜想是什么？
在介绍之前， 让我们先回忆一下中小学数学中的两个简单概念。 其中第一个概念是素数（prime number）。我们知道， 很多正整数可以分解为其它——即不同于它自己的——正整数的乘积， 比如 9 ＝ 3×3， 231 ＝ 3×7×11， 等等。但也有一些正整数不能这么分解， 比如 13， 29 等。 这后一类正整数——1 除外——就是所谓的素数。素数是一个被称为 “数论” （number theory）的数学分支中的核心概念， 其地位常被比喻为物理学中的原子 （atom）， 因为与物理学中物质可以分解为原子相类似， 数学中所有大于 1 的正整数都可以分解为素数的乘积 （素数本身被视为是自己的分解）。不仅如此，这样的分解还可以被证明是唯一的， 这被称为算术基本定理 （fundamental theorem of arithmetic）。第二个概念则是互素 （co-prime）。两个正整数如果其素数分解中不存在共同的素数， 就称为是互素的， 比如 21 ＝ 3×7 和 55 ＝ 5×11 就是互素的。对这一定义还有一个小小的补充， 即 1 被定义为与所有正整数都互素。
有了这两个简单概念，我们就可以介绍 ABC 猜想了。ABC 猜想针对的是满足两个简单条件的正整数组 （A, B, C） 1 。其中第一个条件是 A 和 B 互素， 第二个条件是 A＋ B ＝ C。显然， 满足这种条件的正整数组有无穷多个 （请读者自行证明），比如 （3, 8,11）， （16, 17, 33）……。为了引出 ABC 猜想， 让我们以（3, 8, 11）为例， 做一个 “三步走”的简单计算 ：
将 A、 B、 C 乘起来 ( 结果是 3×8×11 ＝ 264) ；
对乘积进行素数分解 ( 结果是 264 ＝ 2 3 ×3×11) ；
将素数分解中所有不同的素数乘起来 ( 结果是 2×3×11 ＝ 66)。
现在， 让我们将 A、 B、 C 三个数字中较大的那个 （即 C）与步骤 3 的结果比较一下。我们发现后者大于前者 （因为后者为 66， 前者为 11）。读者可以对上面所举的另一个例子——即 （16, 17, 33）——也试一下， 你会发现同样的结果。如果随便找一些其它例子，你也很可能发现同样的结果。
但你若因此以为这是规律， 那就完全错了， 因为它不仅不是规律， 而且有无穷多的反例。 比如（3, 125, 128）就是一个反例 （请读者自行验证）。但是， 数学家们猜测，如果把步骤 3 的结果放大成它的一个大于 1 的幂， 那个幂哪怕只比 1 大上一丁点儿 （比如 1.00000000001），情况就有可能大不一样。这时它虽仍未必保证能够大于三个数字中较大的那个（即 C），但反例的数目将由无穷变为有限。这个猜测就是所谓的 ABC猜想， 它是由英国数学家麦瑟尔 （David Masser）和法国数学家厄斯特勒（Joseph Oesterlé）于 20 世纪 80 年代中期彼此独立地提出的。 “ABC” 这个毫无创意的名字——大家可能猜到了——则是来自把猜想中涉及到的三个数字称为 A、 B、 C 的做法。
与数学猜想大家庭中的著名成员，如黎曼猜想、 哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，以及（已被证明了的）曾经的费马猜想、 四色猜想等等相比，ABC 猜想的 “资历” 是很浅的（其它那些猜想都是百岁以上的 “老前辈”），公众知名度也颇有不及， 但以重要性而论， 则除黎曼猜想外， 上述其它几个猜想都得退居其后。
望月新一abc猜想证明评审8年终获发表
2012年，望月新一提出的abc猜想证明发表在RIMS的网站上，曾因其难以理解的独特风格，被称作“天书”，难倒了不少数学家。“就像在读一篇来自未来或外太空的论文一样”，威斯康星大学麦迪逊分校的数字理论家Jordan Ellenberg曾这样写道。数学家们花了多年的时间试图理解它。随后，2018年，两位在界内备受尊敬的数学家表示，他们发现了望月新一证明中存在的缺陷，当时许多人认为这是对其证明的致命打击。
尽管望月新一的abc猜想证明发表在即，但这似乎并不能改变许多此前质疑相关证明的研究人员的看法，使他们加入到支持望月新一观点的阵营。
加州大学圣地亚哥分校的数字理论家Kiran Kedlaya，作为付出了相当大的努力，试图核实望月新一证明的专家之一表示：“自2018年以来，界内对于望月新一证明的看法没有太大变化。”加州大学伯克利分校的数学家Edward Frenkel也表示，将保留对这部著作的判断，直到它真的被出版，因为可能会有新的信息出现。
在望月新一最初在网站发表自己的证明时，受到了不少的质疑，因为要想证明望月新一观点的正确性实在太困难了，世界各地的专家都在苦苦挣扎，通读一遍全文都很发愁，更别提对其进行验证了。当时许多人，包括望月新一自己的博士导师Gerd Faltings，公开批评望月没能更清楚地表达自己的想法。
随后几年学界还曾就这一问题举行了会议，与会者报告了部分进展，但表示可能需要很多年才能得出望月新一观点是否正确的结论。
时隔多年，自己的证明将被发表，一直在独自奋斗的望月新一似乎终于可以松一口气。然而此次接受发表其abc猜想证明的是由日本京都大学数学科学研究所（RIMS）出版的杂志，望月新一是该杂志的主编。这又再次引起了不少同行的质疑。
事实上，数学家经常在自己担任编辑的期刊上发表论文。此次望月新一也做到了回避审查过程，未出席任何关于相关的编辑委员会会议。
日本东京大学Kavli宇宙物理与数学研究所数学家、曾是RIMS出版物编辑委员会一员的中岛平说，只要作者回避同行评议程序，“这种情况并不违反任何规则，而且很常见”。
在数学界，一篇文章在杂志上的刊登发表，往往不是同行评审过程的终点。一个重要的结论只有在社会各界在其正确性上达成一致后才真正成为一个公认的定理，而要达到这一点可能需要几年的时间。
英国牛津大学数学家Minhyong Kim说：“尽管这些年来遇到了种种困难，但我仍然认为，如果望月新一的想法被证明是正确的，这将是一个伟大发现。”
ABC 猜想为什么重要？
ABC 猜想有一个在普通人看来并不奥妙的特点， 就是将整数的加法性质（比如 A＋B＝C）和乘法性质（比如素数概念——因为它是由乘法性质所定义的）交互在了一起。不过， 数学家们早就知道， 由这两种本身很简单的性质交互所能产生的复杂性是近乎无穷的。数论中许多表述极为浅显， 却极难证明的猜想， 比如前面提到的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、 费马猜想等都具有这种加法性质和乘法性质相交互的特性。数论中一个很重要的分支——旨在研究整系数代数方程的整数解的所谓丢番图分析（Diophantine analysis）——更是整个分支都具有这一特性。丢番图分析的困难性是颇为出名的， 著名德国数学家希尔伯特曾乐观地希望能找到其 “一揽子” 的解决方案， 可惜这个被称为希尔伯特第十问题的希望后来落了空， 被证明是不可能实现的。与希尔伯特的乐观相反，美国哥伦比亚大学的数学家戈德菲尔德（Dorian Goldfeld）曾将丢番图分析比喻为飞蝇钓（fly-fishing）——那是发源于英国贵族的一种特殊的钓鱼手法， 用甩出去的诱饵模拟飞蝇等昆虫的飞行姿态， 以吸引凶猛的掠食性鱼类。飞蝇钓的特点是技巧高、 难度大、成功率低， 而且只能一条一条慢慢地钓——象征着丢番图分析只能一个问题一个问题慢慢地啃， 而无法像希尔伯特所希望的那样 “一揽子” 地解决掉。
但是， 与交互了加法性质和乘法性质的其它猜想或问题不同的是， ABC 猜想这个从表述上看颇有些拖泥带水 （因为允许反例）的猜想似乎处于某种中枢地位， 它的解决将直接导致一大类其它猜想或问题的解决。拿丢番图分析来说， 戈德菲尔德就表示，假如 ABC 猜想能被证明， 丢番图分析将由飞蝇钓变为最强力——乃至野蛮——的炸药捕鱼， 一炸就是一大片， 因为 ABC 猜想能 “将无穷多个丢番图方程转变为单一数学命题”。这其中最引人注目的 “战利品” 将是曾作为猜想存在了 300 多年， 一度被《吉尼斯世界纪录》称为 “最困难数学问题” 的费马猜想。 这个直到 1995 年才被英国数学家怀尔斯 （Andrew Wiles）以超过 100 页的长篇论文所解决的猜想在 ABC 猜想成立的前提下， 将只需不到一页的数学推理就能确立3 。其它很多长期悬而未决的数学猜想或问题也将被 “一锅端”。这种与其它数学命题之间的紧密联系是衡量一个数学命题重要性的首要 “考评” 指标， ABC 猜想在这方面无疑能得高分——或者用戈德菲尔德的话说，是 “丢番图分析中最重要的未解决问题”， “是一种美丽”。
ABC 猜想的重要性吸引了很多数学家的兴趣， 但它的艰深迟滞了取得进展的步伐。截至 2001 年， 数学家们在这一猜想上取得的最好结果乃是将上述步骤 3 的结果放大成它的某种指数函数。具体地说， 截至 2001 年， 这方面的最好结果是
exp[K · sqp(ABC) 1/3+ε ]/C > 1,
其中 K 是与 ε 有关 （但与 A、 B、 C 无关）的常数。由于指数函数的大范围增长速度远比幂函数快得多， 由它来保证其大于 A、 B、 C 三个数字中较大的那个 （即 C）当然要容易得多 （相应地， 命题本身则要弱得多）。
除上述理论结果外， 自 2006 年起， 由荷兰莱顿大学（Leiden University）的数学系牵头， 一些数学和计算机爱好者建立了一个名为 ABC@Home 的分布式计算（distributed computing）系统， 用以寻找 ABC 猜想所允许的反例。截至 2014 年 4 月，该系统已经找到了超过 2,380 万个反例，而且还在继续增加着。不过， 与这一系统的著名 “同行”——比如寻找外星智慧生物的 SETI 以及计算黎曼 ζ 函数非平凡零点的已经关闭了的 ZetaGrid——不同的是， ABC@Home 是既不可能证明， 也不可能否证 ABC猜想的 （因为 ABC 猜想本就允许数量有限的反例）。从这个意义上讲， ABC@Home 的建立更多地只是出于对具体反例——尤其是某些极端情形下的反例， 比如数值最大的反例——的好奇。当然， 具体反例积累多了， 是否会衍生出有关反例分布的猜想， 也是不无趣味的悬念。另外， ABC 猜想还有一些拓展版本， 比如对某些情形下的反例数目给出具体数值的版本， ABC@Home 对那种版本原则上是有否证能力的。
内容来源：中国科学报、中国科学院数学与系统科学研究院
